线性微分方程

介绍

在数学中，线性微分方程是指形如下列形式的微分方程：

a_n(x)y⁽ⁿ⁾(x)+a_n?1(x)y^(n?1)(x)+...+a₁(x)y′(x)+a₀(x)y(x)=g(x)

其中，y、y′、y′′、...、y⁽ⁿ⁾ 都是函数 y 关于自变量 x 的各个阶导数，a₀(x)、a₁(x)、...、a_n(x) 和 g(x) 都是已知函数，它们都依赖于自变量 x。

如果 g(x) 等于 0，那么上述方程就被称为 齐次线性微分方程。否则，上述方程就是 非齐次线性微分方程。

解法

对于一阶齐次线性微分方程：$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=0$，可以使用常数变易法进行求解。即将 y 表示为 $y=Ce^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$ 的形式，其中 C 是任意常数。

对于 n 阶齐次线性微分方程：$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=0$，可以使用特征方程进行求解。特征方程为$p(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0=0$，它的根为 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$。则该齐次线性微分方程的通解为：$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+...+C_ne^{\lambda_nx}$，其中 $C_1,C_2,...,C_n$ 接收任意常数。

对于非齐次线性微分方程：$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=g(x)$，可以使用待定系数法进行求解。具体地，先将 g(x) 表示为若干个基础函数的线性组合，然后设通解为 $y=y_{\mathrm{h}}+y_{\mathrm{p}}$，其中 $y_{\mathrm{h}}$ 为对应齐次线性微分方程的通解，$y_{\mathrm{p}}$ 是一个特殊解。将 $y_{\mathrm{p}}$ 代入原方程中，求解系数即可得到特殊解 $y_{\mathrm{p}}$。

应用

线性微分方程在各个学科中都有广泛应用。在物理学中，牛顿第二定律常常涉及到线性微分方程的求解。在化学中，反应速率也可以使用线性微分方程来进行描述。在经济学中，经济增长模型也可以被看作是一个线性微分方程。

总结

线性微分方程是一类重要的微分方程，具有广泛的应用。对于齐次线性微分方程，我们可以使用常数变易法或者特征方程进行求解；对于非齐次线性微分方程，我们可以使用待定系数法进行求解。了解线性微分方程的求解方法和应用场景，可以帮助我们更好地理解各个学科中的相关问题。