$x^2-5x+6>0$的解集为$x\in(-\infty, 2)\cup(3, \infty)$

不等式的定义和解集

不等式是代数学中的一个重要概念，在解决现实问题中用途广泛。不等式与等式不同，其两边的值之间是有一个不等关系的，可以是大于、小于、大于等于、小于等于等不等式符号。

解集指的是不等式的所有解。对于$x^2-5x+6>0$这个不等式，解集为$x\in(-\infty, 2)\cup(3, \infty)$。也就是说，只有当$x$取这个范围内的值时，不等式才成立。

一元二次不等式的解法

对于一元二次不等式，我们可以通过求出它的零点，也就是它所对应的一元二次方程的根，来确定解集。

以不等式$x^2-5x+6>0$为例，我们可以先求出方程$x^2-5x+6=0$的解，即$x=2$和$x=3$。这样，我们就把实数轴分成了三个区间：$(-\infty, 2)$、$(2,3)$和$(3, \infty)$。然后用试数法，在每个区间内选取一组试数，分别代入不等式，得到：$x<-1$或$x>2$。因此，不等式的解集为$x\in(-\infty, 2)\cup(3, \infty)$。

求解不等式的注意事项

要注意判断符号的变化。在用试数法求解不等式时，要根据不等式符号的变化确定解集。

以不等式$(x-1)(x+2)(x-3)\leqslant 0$为例，我们可以先求出不等式左边的三个因式的零点，即$x=1$、$x=-2$和$x=3$。这样，我们就把实数轴分成了四个区间：$(-\infty, -2)$、$(-2, 1)$、$(1, 3)$和$(3, \infty)$。然后用符号法，将每个区间内的不等式的符号写出来，得到：$(-\infty, -2):-$，$(-2, 1):+$，$(1, 3):-$，$(3, \infty):+$。根据符号变化，可知不等式的解集为$x\in[-2, 1]\cup[3, \infty)$。

另外，求解不等式时，还要注意对于绝对值不等式或分式不等式，需要对不等式中的绝对值或分母等因素进行讨论。

应用：不等式在实际问题中的应用

不等式在数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决各种复杂的实际问题。

例如，在经济学中，利润和成本可以用不等式来计算。如果一个公司生产的产品利润为$x$元，成本为$y$元，且要求利润高于成本的$20\%$，则可以用不等式$x>1.2y$来表示。

在物理学中，速度和加速度的关系也可以用不等式来表示。如果一辆汽车的速度为$v$，加速度为$a$，且限制汽车的行驶速度不超过$120km/h$，则可以用不等式$v^2+2ad\leqslant 2\times60\times60\times1000$来表示。

总之，不等式是一个重要的数学工具，在多个学科领域中都有着广泛应用。